Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit i, sondern erfolgt in der Paarschreibweise:

Eine komplexe Zahl ist ein Paar (a,b) zweier reeller Zahlen a und b.

Für die Addition gilt (a,b) + (c,d): = (a + c,b + d) (d.h. komponentenweise).

Für die Multiplikation gilt .

Die Menge der Paare reeller Zahlen mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper .

Die erste Komponente des Paares (a,b), also a, bezeichnet man den Realteil der komplexen Zahl (a,b), den zweiten, also b, den Imaginärteil.

Die Zahl (0,1) hat das Merkmal, dass

ist. Somit ist x = (0,1) eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung x² + 1 = 0. Eine zweite Lösung ist (0, - 1).

Komplexe Zahlen mit Imaginärteil 0 verhalten sich wie reelle Zahlen:

(a,0) + (c,0) = (a + c,0)

Man kann sie also mit ihrem Realteil identifizieren, d.h. jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil Null:

a = (a,0)

Zum Beispiel ist 1 = (1,0) oder 0 = (0,0).

Die komplexe Zahl (0,1) bezeichnet man die imaginäre Einheit, kurz i (oder auch j in der Elektrotechnik).

Mit diesen Gleichsetzungen kann jede komplexe Zahl in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:

.

Damit kann von der Paarschreibweise zu einer "gewohnten" Schreibweise übergegangen werden, wobei man neben den reellen Zahlen a, b jetzt aber zusätzlich die (nicht reelle) Zahl i benutzt, die das Merkmal i² = - 1 besitzt, und die daher auch als "Wurzel aus -1" aufgefasst wird.

Die Definitionen von Addition und Multiplikation lassen sich nun als übliche Klammerrechnung interpretieren:

Man addiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

Man subtrahiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil":

Der Quotient zweier komplexer Zahlen lässt sich berechnen, indem man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell.

Komplexe Zahlen sind in dem Gegensatz zu reellen Zahlen nicht mehr geordnet, d.h. man kann keine Relation < (kleiner) oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.

Addition:

(3 + 2i) + (5 + 5i) = (3 + 5) + (2 + 5)i = 8 + 7i

Subtraktion:

(5 + 5i) - (3 + 2i) = (5 - 3) + (5 - 2)i = 2 + 3i

Multiplikation:

Zahlengerade mit √2, e und π

Während sich die Menge der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, Gauß'sche Ebene) interpretieren. Die Menge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Menge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl z = (a,b) wird als Punkt mit den Koordinaten a und b dargestellt.

Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise erfolgt, kann sie geometrisch als Pfeiladdition (Vektoraddition) interpretiert werden.

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen und in Polarkoordinaten

Anstatt durch seine Koordinaten a und b kann ein Punkt in der Ebene auch durch den Abstand vom Ursprung (0,0) und den Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zu dem Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten).

Es gilt dann

,

,

sowie

,

.

Man bezeichnet r den Betrag und das Argument der Zahl z.

Man kann das Argument von a + bi durch die folgende Formel berechnen:

Dabei muss man beachten, dass dies ca. für a ≠ 0 gilt, und der Tangens denselben Wert zweimal in dem Intervall [0°, 360°) annimmt. Man muss also noch durch die Betrachtung der Vorzeichen von a und b den richtigen Winkel bestimmen.

Es gilt die Darstellung

.

Hier ist eine komplexe Zahl vom Betrag 1 und vom Argument . Diese Zahl kann auch als

interpretiert werden, sobald man Potenzen mit komplexen Exponenten eingeführt hat, was durch Potenzreihenentwicklung geschieht. Eine Konsequenz hiervon ist die Eulersche Identität:

Dies ermöglicht auch eine geometrische Interpretation der Multiplikation. Mit

wird

.

Das bedeutet:

• Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
• Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
• Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.{| align="right"

| |- | align="center" | Eine komplexe Zahl z = a + bi
mit ihrer komplex konjugierten. |}

Ersetzt man den Imaginärteil b einer komplexen Zahl z = a + bi durch sein negatives - b, erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl . In Polarkoordinaten hat den negativen Winkel von z.

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie genau zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht weg zu denken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x₄ = ict durch eine 4. Raumkoordinate x₄, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x₁² + x₂² + x₃² + x₄²,

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern benutzt, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor genannt. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen benutzt, z.B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x₄ = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckenden Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um ca. ein Beispiel zu bezeichnen, jede differenzierbare komplexe Funktion automatisch unendlich häufig differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potenzialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt stets eine ebene Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der Gauß'schen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung - das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil ) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zu dem Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie in dem allgemeinen nicht aus.

Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale in dem Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.

Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z.B. schon in der um 820 n.Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluß, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sind, blieb man nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501-1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe die Zahl 10 in zwei Teile zu zerlegen, so dass deren Produkt 40 ergibt. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung:

x(10 - x) = 40 oder x² - 10x + 40 = 0

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, imdem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung

für p und q die Werte (-10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre dem sich ergebenden Ausdruck

oder

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach den selben Regeln rechnen dürfte, wie mit einer reelen Zahl, so würden die Ausdrücke

oder

in der Tat ein Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl und α einer beliebigen reellen Zahl β zusammengesetzten Zahl

oder

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Nennung imaginäre Zahl eingebürgert.

Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahl die reellen Zahlen genannt. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen Geómetrie von Descartes und taucht dort wohl zu dem ersten Mal auf.

Heute bezeichnet man ca. noch den Ausdruck der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zu dem erstem mal in dem heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat.

Da das Rechnen mit diesen als "sinnlos" angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man um so überraschter, dass dieses "Spiel" sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zu dem Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die ca. reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten.

So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich stets mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch stets etwas Geheimnissvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la répresentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessels (1785-1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, so dass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten.

Allgemeine Beachtungen fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß in dem Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern.

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der "imaginären" Zahlen, in dem Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also in dem Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.

• Zahlenbereiche
• Ganze Zahlen
• Rationale Zahlen
• Reelle Zahlen
• Ordinalzahlen
• Zahlensystem
• Quaternionen
• Oktaven

• http://www.komplexe-zahlen.de - Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
• http://people.freenet.de/rebert/texte/Komplexe%20Zahlen.pdf - Eine weitere Einführung in dem PDF-Format
• http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html - Rechnen mit komplexen Zahlen